A MÉRTAN ALAPVONALAI,
TUDOMÁNYOSAN RENDSZERESÍTVE

Hollán Ernő neve ismerős minden szombathelyi számára, hiszen utcát és középiskolai kollégiumot is neveztek el róla. Közismert a szerepe az 1848/1849-es szabadságharcban, de később mérnökként, politikusként (országgyűlési képviselőként), államférfiként (közlekedésügyi államtitkárként) is híressé vált. Kevesen tudnak viszont arról, hogy Hollán Ernő – aki a Magyar Tudományos Akadémiának is tagja lett – matematikával, azon belül főleg geometriával is foglalkozott, és munkássága meghatározó volt a magyar matematika fejlődésének történetében. Mielőtt azonban bemutatnánk Hollán matematikai munkásságát, néhány bekezdésben – röviden – foglaljuk össze életének fontosabb állomásait, eredményeit.

A család harmadik fiúgyermekeként látta meg a napvilágot a Georgius Ernestus Johannes keresztnevekkel anyakönyvezett Hollán Ernő 1824. január 13-án, Szombathelyen. Az 1833/1834-es tanévben kezdte meg tanulmányait ugyanabban a hat évfolyamos szombathelyi iskolában, ahol testvérei is tanultak. Gimnáziumi éveit kiváló eredménnyel zárta (mind a hat évfolyamon mindenből „Em”, azaz eminens minősítést szerzett), és – mivel a katonai pálya érdekelte – 1839-ben a bécsi Császári és Királyi Mérnöki Akadémián folytatta tanulmányait. Itt alapos és magas színvonalú természettudományos és műszaki képzésben részesült. A növendékek tanultak itt matematikát, német, latin, francia és cseh nyelvet, szép- és helyesírást, levelezést és az ügyiratok kezelését, történelmet, földrajzot, mechanikát, katonai ismereteket, valamint műszaki tantárgyakat (szabadkézi rajz, tereprajz, műszaki rajz, erődítményi és építészeti ismeretek). Matematikából szerepelt a tanultak között aritmetika és algebra, elemi geometria (sík- és térmértan), trigonometria, a kúpszeletek matematikája, differenciál- és integrálszámítás, matematikai földrajz. Hollán az intézmény legkiválóbb hallgatói közé tartozott éppúgy, mint közel húsz évvel korábban Bolyai János.¹ A tanulmányai befejezése után, 1844-ben hadnaggyá léptették elő, majd három évvel később mérnökkari főhadnagy lett, és Lembergbe vezényelték.

1848. június 1-jén a kassai 9. sz. honvédzászlóalj századosának nevezték ki Hollán Ernőt. Röviddel ezután a „veressapkásokkal” a vajdasági hadszíntérre vezényelték, és novemberben Kossuth Lajos rábízta Pétervárad védelmét (erődítési igazgató lett), valamint kinevezte főmérnökké. A véderőművek megerősítése és a Dunán átvezető hidak biztosítása volt a feladata. Mindezek mellett Hollán bátor katonaként és az erőd szellemi vezetőjeként is feltűnt. Kossuth Lajos Mészáros Lázár hadügyminiszternek írt egyik levelében így fogalmazott: „(...) Hollán Ernő őrnagy a Honvédelmi Bizottmány által Péterváradra éppen azért küldetett, hogy a várőrség tisztikarának szellemét ellenőrizze, a várbéli legénységnek lelkesedését s ügyünkhözi meleg ragaszkodását fenntartsa és élessze (...), másrészről pedig avégett, hogy mint szakember, magában a várban az erődítési munkálatokat vezesse.”² A várat – többek között Hollán erősítési munkájának köszönhetően – a szabadságharc végéig nem sikerült bevenni. A világosi fegyverletétel után, 1849 szeptemberében adták át a péterváradi erődöt a komáromi várnál kialkudott feltételekhez hasonlóan. Ez jelentette Hollán Ernő katonai pályafutásának a végét, amely egyúttal lehetőséget biztosított neki arra, hogy a mérnöki, tudományos és politikai tevékenységére koncentráljon.

Hollán Szombathelyre tért vissza, és hadmérnöki ismereteinek kiegészítéseként további mérnöki tanulmányokat folytatott. Ekkor történt, hogy egy rosszindulatú feljelentés miatt elfogták, szigorú őrizet alatt tartották, és csak félévi raboskodás után szabadulhatott. Ezek után elsősorban a mérnöki munkával foglalkozott. Gróf Széchenyi Pál megbízta marcali birtokának felmérésével, és alapos, precíz munkájának köszönhetően Hollán további felkéréseket kapott; néhány év alatt több mint 60 000 hold nagyságú területen végzett földmérő munkát. A Budától Kanizsán át az országhatárig tartó vasútvonal megépítésének előkészítési munkáival is megbízták, meghatározó szerepet vállalt a dunántúli vasúthálózat kiépítésében, és – mivel Hollán Ernő alagcsövezéssel is foglalkozni kezdett – több felkérés érkezett hozzá ilyen típusú munkák elvégzésére, a műszaki talajjavítás felügyeletére. Ismertségét és elismertségét az is bizonyítja, hogy 1857-ben Derby grófjának fia, a későbbi lord Stanley (aki hadügyminiszter lett) egy másik angol főúr fiával egy ideig azért tartózkodott Szombathelyen, hogy Hollán Ernőtől hadtudományi ismereteket sajátítson el.

A Helytartótanács alelnöke 1859-ben megkereste Hollánt, hogy fejtse ki gondolatait Magyarország jövőjével kapcsolatban. Hollán nem készült politikai pályára, de a változások, az enyhülés kezdete, Széchenyi István barátsága (a vele folytatott levelezés) mégis ebbe az irányba sodorta. Egy levelében így fogalmazott: „Megvallom, hogy e miszszió s a vele járó megbízás kissé megdöbbentett. A haza s a közügy szolgálatában kész voltam megtenni mindent, a mi gyenge erőmből kitelik. Mint volt katona azonban a politikához nem sokat értettem, sem állásom és múltamnál fogva annyira felbizakodott nem lehettem, sem szerény képességemnél fogva magamat arra hivatottnak nem tekinthettem, hogy önmagamtól ily fontos kérdésről programmot készítsek.”³ Hollán meg is írta gondolatait, amelyről Széchenyi István így nyilatkozott: „Azt hiszem Hollán dolgozatát tüstént ki kellene nyomtatni. (...) Biztos előnye mindazonáltal hogy Ausztria minden népét megnyerné nekünk és ügyünknek.”⁴ Az írás Zur ungarischen Frage, Eine Denkschrift von einem ungarischen Patrioten címmel (A magyar kérdéshez, Egy magyar hazafi emlékiratai; később „Zöld Könyv”-ként is emlegették) 1859-ben röpiratként jelent meg Lipcsében. A magyar haladó gondolkodók örömmel fogadták, de a könyv Bécs nemtetszését váltotta ki: házkutatásokra, korlátozó intézkedésekre került sor, a könyv legtöbb példányát lefoglalták.

Mindezek nem szegték kedvét a már politikus Hollán Ernőnek. 1865-ben tagja lett az országgyűlésnek a felsőőri kerület és Deák Ferenc pártjának képviselőjeként. (Később, 1869-ben, 1872-ben és 1875-ben is a körzet képviselőjének választották.) Tagja lett a kiegyezésre vonatkozó törvényjavaslatot kidolgozó bizottságnak. Elsősorban katonai, közlekedési és kereskedelmi ügyekkel foglalkozott, és ennek köszönhetően 1867-ben, az alkotmányos kormány kinevezésekor, közlekedési államtitkár lett. A magyar közlekedéspolitika kialakításában és irányításában kiemelkedő volt a szerepe csakúgy, mint a hazai vasúthálózat fejlesztésében. 1870 novemberében, Andrássy Gyula miniszterelnöksége alatt lett honvédelmi államtitkár. Erre az időszakra esett a Magyar Királyi Honvéd Ludovika Akadémia létrehozása és megszervezése. Hollán két évig volt honvédelmi államtitkár, lemondása után a Lipót-rend parancsnoki keresztjével tüntették ki. Ezek után is folytatta képviselői és más közéleti tevékenységét: aktív tagja volt a Magyar Tudományos Akadémiának, a Fővárosi Közmunkák Tanácsának, és alapító elnöke volt a Magyar Mérnök és Építész Egyletnek.

Hollán Ernő az 1850-es évek elején kezdte el megírni a Mértan alapvonalai tudományosan rendszeresítve című geometriai tankönyvét, amely 1854-ben Bécsben jelent meg. Meghatározó matematikai szakkönyv lett ez. Jelentőségének igazolásához érdemes áttekinteni, hogyan alakult a geometriát tárgyaló művek, tankönyvek sorsa a magyar matematika történetében Hollán munkájának megjelenése előtt.

Az első tankönyvek, matematikát tárgyaló könyvek a XV. század végén jelentek meg Magyarországon. Ezek zömmel aritmetikai, algebrai ismereteket tartalmaztak, kevés volt bennük a geometria. Az első komolyabb geometriai könyv, amely magyarországi szerzőtől származik, Pühler Kristóf 1563-ban megjelent (bár a szerző a könyv elkészültét 1561. február 9-i dátummal jelezte) Ein kurtze und grundliche anlaytung zu dem rechten verstand Geometrae (Rövid és alapos bevezetés a geometria helyes megértéséhez) című német nyelvű munkája. A szerző elsősorban a geometria alkalmazásának lehetőségeit mutatja be ábrák segítségével 72 fejezeten és 122 oldalon keresztül, valamint azt, hogy hogyan lehet meghatározni fák, tornyok, épületek magasságát, földterületek nagyságát, árkok mélységét, térfogatát. Pühler az ókori görög és a kortárs geometriai eredményeket is felhasználta a feladatok megoldása során.⁵

Az 1600-as évek elejéről származik – valószínűleg egy Franciaországban tanuló magyar diáknak köszönhetően, általa készítve – a Principes de Géométrie című kézirat, amelyen érződik Euklidész Elemek című könyvének hatása.⁶

Matematikai szempontból meghatározó Apáczai Csere János Enciklopédiája (1655) is, amely külföldi művek szó szerinti fordítását tartalmazta. A geometriai rész fő forrása egy 1569-ben megjelent könyv. Apáczai több matematikai fogalomnak is megadta a magyar megfelelőjét (hegyes szeglet, tompa szeglet, hasonlóság), de több ezek közül bonyolult körülírással szerepel.⁷

Az első disszertációk közül való Polgári György 1682-ben megjelent Pro Theoriae Geometricea Principa című műve. A dolgozat geometriai alakzatok értelmezését, leírását tartalmazza (képletek, formulák nélkül). A szerző a pontot az időpillanat, a szöget a térdhajlat segítségével szemlélteti.⁸

Jánosi Miklós jezsuita tanár 1737-ből származó latin nyelvű trigonometria tankönyve az egyik első volt hazánkban. A könyvben síkbeli, térbeli és csillagászati problémák is találhatók.

A magyar műszaki oktatás fejlődésében mérföldkő volt az, amikor 1782-ben II. József a pesti egyetem bölcsészeti karát kibővítette a Mérnökképző Intézettel. A képzések színvonala magas volt, a mérnökképzés terén az egyetem felvette a versenyt a nyugati intézményekkel. Nemcsak a pesti egyetemen készültek magyar, német vagy latin nyelvű tankönyvek, kéziratok, hanem néhány vidéki iskolában is állítottak össze jegyzeteket az ottani matematikatanárok.⁹

A tankönyvszerzők közül mindenképpen meg kell említenünk Segner János Andrást. Ő volt az első olyan magyarországi származású matematikus, akit az egyetemes matematikatörténet alakjai között is megtalálhatunk. Tankönyvírói tevékenysége mellett önálló kutatásának eredményei is meghatározók. Tankönyveiben úgy ötvözte a korábbi idők matematikai eredményeit a kor fontosabb eredményeivel, hogy az sokak számára elérhető és érthető legyen. Több olyan algebrai és geometriai bizonyítást készített, amely a későbbi matematika tankönyvekben ugyanolyan formában szerepelt. A geometriát (is) tárgyaló könyve Elementa mathematicae et geometriae címmel jelent meg 1739-ben.¹⁰ Eredményei között mindenképpen megemlítendő, hogy finomította a π értékének meghatározására szolgáló közelítő eljárást, amely során a körbe és a kör köré írt szabályos sokszögek területét használta.¹¹ Ez az ötlet Hollán Ernő könyvében is megjelenik.

Segner tankönyvei mellett népszerűek voltak Kerekgedei Makó Pál latin nyelvű munkái is (a Habsburg Birodalom mellett Németországban és Olaszországban), bár ezek nyelvezete és tartalma inkább csak a felsőbb matematikában jártasoknak volt könnyen emészthető. A Compendiaria matheseos institutio című 1764-ben megjelent tankönyve a középiskolában tanított algebrai és geometriai ismereteket foglalta össze. A logikus tárgyalásnak és az elegáns bizonyításoknak köszönhető, hogy ez a tankönyv több kiadást is megért, és szívesen használták az egyetemek a matematikát igénylő tárgyak oktatása során.¹²

A matematika magyar szaknyelvének megteremtésében elévülhetetlen érdemei vannak Dugonics Andrásnak. Az 1784-ben megjelent A Tudákosságnak első könyve (az algebrai ismereteket tárgyalja) és A Tudákosságnak második könyve (ebben található a geometria, majd a későbbi bővített kiadásban a trigonometria és a kúpszeletek) nem tartalmazott idegen matematikai szakszavakat. Az írásokban kb. 300 magyar műszót találhatunk, amelyek jelentős része nem honosodott meg a magyar matematikai szóhasználatban. Dugonics célja egyértelmű volt, ő maga ezt így fogalmazta meg: „(...) az algebrát és geometriát magyar nyelven kiadtam, hogy megmutassam az ország előtt, hogy a német nyelv soha sem oly alkalmatos a tanulmányoknak kimagyarázásában, mint a magyar nyelv. (...) Én megmutattam, hogy ha a tudákosság magyarul taníttatna, más idegen nyelvre nem lenne szükségünk, a mint is azon két tudákos könyveimben semmi más szavakkal nem éltem, hanem tiszta magyar szavakkal.”¹³ A két könyv felsőbb matematikai ismereteket nem tartalmazott (bár az egyetemisták szívesen forgatták), szerkesztése sem a legkövetkezetesebb, és tartalmában sem a legalaposabb.

Vas megyében is alkottak matematikatanárok. Ismert Bitnicz Lajos két matematikai tárgyú tankönyve, Hertl Ignác Aritmetika című könyve, és Horváth (Keresztély) János is készített latin nyelvű matematikai tankönyvet. A matematikai írások elkészítését és kiadását a Tudós Társaság és később az Akadémia támogatta. Az Akadémia feladatának tartotta a magyar matematikai szaknyelv megteremtését. Ennek köszönhetően jelenhetett meg 1834-ben a Mathematika Műszótár, amely a matematikán kívül a hajózás, az építészet, a bányászat, az erdészet és a hadi tudományok leginkábban használt szakszavait, illetve azok latin, német és francia megfelelőit tartalmazta. Mérföldkőnek számított az is – különösen a geometriáról szóló szakirodalmat tekintve –, hogy elkezdődött Euklidész Elemek című könyvének fordítása Brassai Sámuelnek köszönhetően, és a magyar kiadás 1865-ben meg is jelent. Meg kell emlékeznünk a két Bolyai (Farkas és fia, János) geometriai munkásságáról is, hiszen az eredményeik kiemelkedőek voltak a XIX. század geometriájában, és új utakat is nyitottak a matematikában.

Mindezen eredmények ismeretében, azok figyelembevételével állt neki Hollán Ernő a saját (magyar nyelvű) geometriai tankönyve elkészítéséhez. Általános megközelítést, logikus felépítést tartott szem előtt (tételeket és azok bizonyítását közölte); feladatok, számadatokat tartalmazó példák a könyvben nem találhatók.

Hollán a Mértan alapvonalai tudományosan rendszeresítve című könyvét 1854-ben (házasságának évében) adták ki Bécsben. A könyv címoldalán olvasható az is, hogy a szerző munkáját „a magyar felsőbb tanodák használatára” készítette. Fontos, mondhatni hiánypótló könyv volt ez akkor. Összefoglalta a legfontosabb sík- és térgeometriai ismereteket precízen felépítve, és Hollán kísérletet tett arra is, hogy megújítsa a matematika magyar szaknyelvét. Könyvében Hollán a korának legújabb (Bolyai János által képviselt) geometriai eredményeit nem tárgyalta, kizárólag a „klasszikus” (euklideszi) geometriára koncentrált.

Az euklideszi geometria a középiskolában is tanított geometria. Euklidész i. e. 300 körül írta (állította össze) Elemek című könyvét, amelyben az ókori görög tudós – a deduktív módszert alkalmazva – logikai következtetések segítségével adja meg matematikai tételeit, felhasználva a természet tapasztalati törvényeiből absztrahált axiómákat, posztulátumokat és definíciókat. A későbbi évszázadokban számos kérdést vetett fel ez a felépítés, sokan próbálták tökéletesíteni. A legismertebb és leginkább használt az axiómarendszer, amelyet a német David Hilbert ismertetett 1899-ben Grundlagen der Geometrie (A geometria alapjai) című művében. Hollán Ernő ezt a felépítést nem ismerhette, mint ahogy az Elemek első magyar fordítását sem használhatta a tankönyvének elkészítésekor. Éppen ezért nem meglepő, hogy a bevezetőben igyekezett minden fogalmat minél alaposabban értelmezni, megmagyarázni, körülírni: „Tehát tér alatt értjük a terjedtség képzelmét, vagyis a testeknek és ezek részeinek egymás mellett és fölötti fekvését. Innen ha mi magunknak egyszerre két különböző testet képzelünk, el kell azokat szükségképpen egymástól választanunk, mert érzékeink tapasztalásából tudjuk, hogy a különböző testektől eredő benyomások soha azon egy helyről nem származnak, s igy nyertük el a helyek különbségének fogalmát, vagyis a testeknek tőlünk és egymástóli távolságát, messzeségét. Ha már ezen fogalmakat minden mástól tisztán elkülönözzük, és a test képzetétől, vagyis az áthatlan anyagtól is elvonjuk: ekkor csupán a terjedtség vagyis a tér fogalma marad fön, mely tulajdonképpen a mértani vizsgálatoknak tárgya. Ez utóbbi tehát merő elvontság a valótól, csupa gondolatban képzelt valami, mert a mértan tárgyaknak egyedűl a térfoglalásra vonatkozó tulajdonságait veszi szemügyre, ellenben azoknak anyagi bellegét egészen mellőzi.”¹⁴

A bevezetésben Hollán a könyv felépítését is ismertette. Két fő fejezetet adott meg: először a síkgeometriai kérdésekkel foglalkozott, majd pedig kilépett a térbe, és a térgeometriát tárgyalta: „Hogy pedig az egésznek szerkezetét rövid vázlatban előlegesen felmutassuk a legegyszerűbb fogalmakból indulandunk, ezek segedelmével az összetettekre áttérendők. Mire nézve nyomozódásainkat legközelebb azon egyenes és görbe vonalakon kezdjük, melyek egy síkon feküsznek, – és ennek tárgyalásához közvetlenűl hozzáfoghatunk, mert a pontról csak ugyan mindent elmondtunk, mit róla mondani lehetett, – azután azokon, melyek a térben és függésben vannak területekkel és testekkel, s ehez képest a mértant két részre osztjuk: I. Mértan a síkban (Planimetria) vagy is a síkalakzatok előadása. II. Mértan a térben (Stereometria), az az: térfoglaló alakok megismertetése, melyek a térnek mind a három mérjét feltételezik.”¹⁵

A könyv „első szakasza” az egyenes vonalú alakzatokról szól. Itt olvashatunk az egyenesekről, szakaszokról, körökről – értelmezésükkel együtt. A geometria egyik legérdekesebb kérdésének, a párhuzamossági axiómának, Euklidész V. posztulátumának vizsgálata is ebben a fejezetben található. Ez az állítás teszi az euklideszi geometriát euklideszivé, annak elhagyása, módosítása, lecserélése, tagadása érdekes problémákhoz, újabb geometriákhoz vezet. A David Hilbert által adott megfogalmazás az, amely a mai tankönyvekben szerepel: adott a síkon egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont; ekkor a ponton át a síkban egyetlen olyan egyenes húzható, amelynek nincs közös pontja az eredeti egyenessel.¹⁶ Az Euklidésztől származó verzió lényege az alábbi: ha két egyenest egy harmadik metsz, akkor azok – végtelenül meghosszabbítva őket – a metszőnek azon az oldalán találkoznak, amelyen a belső szögek összege kisebb két derékszögnél.¹⁷ Hollán Ernő is adott egy megfogalmazást: „párhuzamu egyenesek soha össze nem találkoznak, ha bár a végtelenig vonatnának is, (...) egy felvett egyenessel egy kivüle fekvő ponton csak egyetlen egy egyenközű lehetséges.”¹⁸

Hollán megadta az ismert szögek értelmezését (hegyesszög, derékszög, egyenesszög, tompaszög), és a nevezetes szögpárokról (egyállású szögek, mellékszögek, csúcsszögek) is írt. Érdekes, hogy éppen fordítva használta a konvex és a konkáv szögek latin elnevezését a saját maga által alkotott verziók esetében (hajla szög = konvex szög/concav, hajtott szög = konkáv szög/convex). Ezek után a háromszögekkel kapcsolatos tételek megadása következett: ismertette a háromszög-egyenlőtlenséget, a belső és külső szögek összegére vonatkozó tételeket, a háromszögek belső és külső szögei közötti összefüggéseket. (A 90°-ot D-vel, a 180°-ot 2D-vel, a 360°-ot 4D-vel jelölte.) Ezek alapján adta meg a háromszögek típusait. A háromszögek megadásának és a háromszögek egybevágóságának alapeseteit együtt tárgyalta: „három független létrészek elégségesek a háromszög meghatározására” ¹⁹. A következőkben a háromszögekről a nevezetes négyszögekre (paralelogramma, négyzet, trapéz, rombusz) és azok tulajdonságainak ismertetésére tért át. Végül a (konvex) sokszögeket és a szabályos sokszögeket tárgyalta. Képletet adott arra, hogyan lehet meghatározni konvex sokszögek összes átlójának számát és a belső szögek összegét. Megjelent itt is az az ötlet, amely szerint a sokszögeket – például az egyik csúcsból húzható átlók segítségével – érdemes felbontani háromszögekre.

Külön függelék szólt a geometriai szerkesztésekről, az „alakításokról”. Hollán ismertette, hogy az euklideszi szerkesztések során milyen eszközök és szerkesztési lépések használhatók. Ugyanakkor felhívta a figyelmet arra is, hogy egy szerkesztés soha nem lehet pontos, helytelen következtetéseket hibás ábrából nem szabad levonni: „Mielőtt tettleges alakitásokhoz áttérnénk, ismételnünk kell, hogy minden eddig nyert tételek egyedül mathematikai vonalokat illetnek, hogy tehát minden rajzainkban, vonalokat a lehető legvékonyabban kelljen huznunk, s mivel ezen vonalokat csakugyan rajzolnunk kell: a rajz által lett előterjesztés elkerülhetetlen tökéletlenségéből, megforditva a kifejtett tételek alaptalanságát nem következtethetjük, mert egy találatos hiba csak a gépi tökéletlen végrehajtásnak tulajdonitható; igy mértani alakitásoknál hibák leggyakrabban az ironyok vastagságában alapulnak, melyek annyival sérelmesebbek lesznek, mennyivel nagyobb a hajlás, mely alatt két vonal egymást átmetszi. Minélfogva ilyen átmetszési pontokat a lehetségig kerülni, s további rajzok támaszpontjául soha felhasználni nem fogunk.”²⁰

A nevezetes szerkesztési eljárások közül Hollán többet ismertetett: háromszög szerkesztése három oldalból; szög felvétele, másolása; adott egyenessel párhuzamos egyenes szerkesztése; szakaszfelező merőleges szerkesztése; merőleges egyenes szerkesztése egy egyenes adott pontjába (szakasz végpontjába); külső pontból merőleges állítása egy adott egyenesre. Külön szólt a szögek felosztására vonatkozó problémákról: szöget felezni és derékszöget harmadolni lehet, de a szögharmadolás kérdése (ami a matematika egyik jelentős problémája, nevezetes szerkesztési feladat; lényege, hogy euklideszi szerkesztési eljárással egy tetszőleges szög nem osztható három egyenlő részre) a tankönyvnek nem része: „Miután megmutattuk, miként egy egyenest tetszés szerint egyenlő részekre oszthatni, a szögeknek felosztását is megmutatnunk kellene. De ezen feladat az elemi mértannak határait tulhaladja; egy egyenes vonal és egy körnek segedelmével valamely szöget csak két részre, s még ezen felül a derék szöget három részre oszthatjuk.”²¹

Külön fejezet tárgyalja a kerület és a terület, azaz a mérés értelmezését. Hollán először azt igazolta, hogy ha adott két paralelogramma, amelyek egyik oldala közös és magasságuk egyenlő, akkor az a két paralelogramma egyenlő területű: „egyenlő talpvonalu és egyenlő magasságu egyenközények, egyenlő területekkel birnak.”²² Mivel egy paralelogramma átlója a paralelogrammát két egyenlő területű háromszögre bontja, így az is igaz, hogy „két egyenlő talpvonalu s egyenlő magasságu háromszögek, egyenlő területeket birnak.”²³ Hollán bemutatta a sokszögek átdarabolhatóságára vonatkozó ismereteket is: „Minden sokszög oly négyzetté változtathatik, mely vele területre nézve egyenlő.”²⁴ Ennek igazolása közben bebizonyította a magasságtételt (derékszögű háromszögekben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe éppen a magasság), és így fogalmazta meg: „Ha a derékszögü háromszögben a derékszögnek csucsából az átfoglalóra egy függélyeset huzunk, akkor ez utóbbinak szelvényeiből származott derékszögü, területre nézve egyenlő a függélyes fölötti négyzettel.”²⁵ Írt arról is, hogyan lehet több sokszöget egy négyzetté átdarabolni. Ehhez azt mutatta meg, hogyan lehet két négyzetből olyan új négyzetet konstruálni, amelynek területe megegyezik az előző két négyzet területének összegével. Ezzel gyakorlatilag bebizonyította a Pitagorasz-tételt: „minden derékszögű háromszögben, a befoglalókon alakitott négyzetek területei összesen annyit tesznek, mint az átfoglalón alakitott négyzet területe.”²⁶ Hollán ezek után – az ismert és klasszikus tételek bizonyításával – jutott el a téglalap területének meghatározásához, azaz a két szomszédos oldal hosszának összeszorzásához: „valamely derékszögünek terület száma nem egyéb, mint talapvonala s magassága hosszszámainak szorozmánya.” ²⁷ Ennek a képletnek az ismeretében már könnyen meghatározható volt a háromszög, a négyzet, a paralelogramma és a trapéz ismert terület-összefüggése.

A hasonlóság témakörének tárgyalását nem a hasonlósági transzformáció klasszikus értelmezésével kezdte Hollán. Abból indult ki, hogy két háromszög akkor lesz hasonló, ha szögeik páronként megegyeznek. Ezek után a háromszögek hasonlóságának maradék három alapesetét vissza tudta vezetni erre. A hasonlóság segítségével bizonyítható tételekről is olvashatunk ebben a részben. Hollán bizonyította a befogótételt és a már korábban említett magasságtételt, amelyet ebben a részben más megfogalmazásban közölt: „a függélyes, mely a derékszögnek csucsából az átfoglalóra leeresztetett, középarányos az utóbbinak két szelvényei közt.”²⁸ A magasságtételt és a befogótételt felhasználva (azok következményeként) adott egy ötletes – manapság kevésbé ismert és használt – bizonyítást a Pitagorasz-tételre. A sokszögek hasonlóságának értelmezésekor használta azt a gyakori trükköt, miszerint a sokszöget érdemes háromszögekre bontani; hasonló sokszögeket pedig hasonló háromszögekre lehet bontani. De megfogalmazta a középiskolában is tanított két alapesetet: „A hasonló sokszögekben a hasonlóan fekvő szögek egymással egyenlők, továbbá a hasonlóan fekvő átlók és oldalak egyenlő viszonyokban állanak.”²⁹ A fejezet végén olvashatunk a hasonló alakzatok területének arányával kapcsolatos tételről (háromszögekre és sokszögekre vonatkozóan). Érdekes, a Pitagorasz-tétel egyfajta (az oldalakon lévő négyzetek helyett az azokon nyugvó sokszögekkel kapcsolatos) általánosítását is bizonyította Hollán, miszerint: „Ha valamely derékszögü háromszögnek oldalain hasonló sokszögeket képezünk ugy, hogy a háromszög oldalai egyszersmind hasonlóan fekvő oldalaik ama sokszögeknek, ugy az átfoglalón álló sokszög területe egyenlő nagyságu, ama másik két sokszög területével, együttvéve, melyek a befoglalókon képeztettek.”³⁰

Külön függelék szól a hasonlóság segítségével megoldható szerkesztési feladatokról. Ezek között – a teljesség igénye nélkül – megtalálható az adott szakaszok arányának és mértani közepének a szerkesztése, de háromszöget és trapézt is felbont az alappal párhuzamos egyenes segítségével úgy, hogy a keletkezett részek területének aránya egy adott értékkel egyezzen meg.

A körről szóló fejezet is igen részletes. A kör definiálása korábban már megtörtént, de a kör részeinek (kerületi szög, középponti szög, húr, szelő, érintő) értelmezését itt végezte el Hollán. A fokokban való mérésről így írt: „Négy derékszögnek 360-ad részét, vagy, a mi ugyanaz, egy derékszögnek kilenczvenedik részét szinte foknak (szögfok) nevezzük; ennek hatvanodik részét percznek (szögpercz); s hatvanodik részét a percznek másodpercznek (szögmásodpercz).”³¹ Külön olvashatunk a kerületi és középponti szögekről, az azokkal kapcsolatos tételekről (a megfelelő kerületi szög nagysága mindig fele a hozzá tartozó középponti szögnek) és bizonyításukról, amelyeket Hollán szemléletes ábrákkal tett érthetővé. A Thalész-tételt nem külön mondta ki és bizonyította, hanem a kerületi és középponti szögek tételének következményeként adta meg: „Különös érdekü azon eset, melyben a középpontszög nyujtott = 2D, tehát a körzetszög a félkörön áll; ez utóbbi ily esetben mindenkor egy derékszöget teszen, mit röviden igy szoktunk kifejezni: minden szög a félkörben derékszög.”³²

A körök és egyenesek kölcsönös helyzetét vizsgálva olvashatunk a húrokról, a szelőkről és az érintőkről, valamint az ezekkel kapcsolatos tételekről (például az érintő- és szelőszakaszok tételéről és annak bizonyításáról). A fejezet végén a körök kölcsönös helyzetét tárgyalta Hollán – a körök közös egyeneseivel együtt. A fejezet után egy külön függelék tárgyalja a körökkel kapcsolatos szerkesztési problémákat, feladatokat. Hollán bemutatta (és igazolta), hogyan kell szerkeszteni látókörívet, körhöz külső pontból érintőt, két körhöz közös érintőket, és példákat mutatott nevezetes ponthalmazok szerkesztésére – az esetek számának vizsgálatával együtt (például: adott egyeneshez és az azt nem metsző két körhöz szerkesszünk olyan kört, amely mindhárom ponthalmazt érinti).

A körbe és a kör köré írt sokszögek vizsgálata leginkább a húrnégyszögek és az érintőnégyszögek tárgyalásával szokott kezdődni. Hollán nem ezt az utat követte. Ő egyből a húr- és érintősokszögekre vonatkozó tételeket bizonyította: „minden oldalpárszámu hursokszögben, az első, a harmadik és ötödik,... s igy tovább szögek összege, egyenlő a második, negyedik, hatodik,... s igy tovább szögek összegével”³³ és „minden oldalpárszámu érintői sokszögben az első, harmadik, ötödik... s igy tovább oldalak összege, egyenlő a második, negyedik, hatodik... s igy tovább oldalak összegével.”³⁴ Ugyan a húrnégyszögek és érintőnégyszögek tételét nem fogalmazta meg (hiszen sokkal általánosabbat adott meg), de azt fontosnak tartotta, hogy a két tétel megfordítását bizonyítsa. Ezek után a körbe és a kör köré írható alakzatokkal foglalkozott részletesen. Itt mutatta meg, hogyan származtatható a háromszögbe és a háromszög köré írható kör, és milyen egyéb tulajdonságai vannak a húrnégyszögeknek. Igazolta, hogy a szabályos sokszögekbe és a szabályos sokszögek köré mindig írható kör.

Hollán külön tárgyalta a szabályos sokszögek szerkesztésének módját. Az adott körbe írható szabályos háromszögét és négyszögét (négyzet) egyszerűnek találta, de a magasabb oldalszámú szabályos sokszögek szerkeszthetőségét nem vizsgálta (bár az erre vonatkozó tételt Gauss igazolta már 1796-ban), a szabályos ötszög esetében (amelynek szerkesztése kapcsolatban áll az aranymetszéssel, és annyira nem bonyolult) meg is indokolta, hogy miért nem vizsgálta: „A szabályos huros ötszögnek egy sajátszerü tulajdonsága van, mely ennek alakitását igen könnyebbíti. De az illető kifejtés egy másodfoku egyenlet feloldására és alakítására vezet, mely tul terjed amaz előismeretek határain, melyek ezen tankönyvben előre feltételezvék.”³⁵ Ugyanakkor Hollán bemutatott olyan közelítő szerkesztési módszereket, amelyekkel szabályos sokszögek (ugyan nem pontos, de a gyakorlat szempontjából elégséges és használható) konstruálása elvégezhető. A fejezet zárásaként – hosszas általános számításokkal, képletekkel – szabályos sokszögek különböző adatainak meghatározására gyűjtött össze eljárásokat a szerző.

A szabályos sokszögeket Hollán felhasználta a kör kerületének meghatározásához. Két oldalról közelített (ez a régi, Arkhimédész-féle módszer), azaz egy körbe és a kör köré egyre nagyobb oldalszámú szabályos sokszögeket írt, és (az analízist segítségül hívva) megállapította, hogy „az érintő- és huros sokszögek körületei, az elsők fogyatkozással, az utóbbiak növekedéssel, egy közös határhoz közelednek.”³⁶ Szabályos hatszög, tizenkétszög, huszonnégyszög stb. (az oldalak számát mindig duplázta) segítségével számításokat is végzett, ezeket egy táblázatban foglalta össze, és a közelítés eredményeként kapott egy konstans értéket a kör kerületének és átmérőjének arányaként (ebből adódik a jól ismert képlet a kör kerületére: K = 2rπ). Ez az arány a π, a Ludolph-féle irracionális szám. Hollán a könyvében megadta a π kerekített értékét húsz tizedes jeggyel (bár 1853-ban 440 tizedes jeggyel ismert volt már a közelítés), és a számítások könnyítése érdekében megadta az V. századból származó 355/113 arányt (amelyre Cu Csung-cse kínai matematikus talált rá).

A kör területének megadásához Hollán nem a szabályos sokszögeket választotta (a mai geometriakönyvektől eltérően), hanem egy eléggé ötletes, de ugyanakkor merész úton haladt. Először megmutatta, hogy „valamely körnek területe, egyenlő azon háromszög területéhez, melynek talpvonala a kör körzete és magassága, a kör félmérője”³⁷, azaz a háromszög oldala (2rπ) és magassága (r) szorzatának a felét kell venni, és így meg is kapjuk a jól ismert területképletet a kör esetében: T = r²π. Ha a sugár egységnyi, akkor ez a terület éppen π. Hollán utalt arra, hogy korábban igazolta azt, hogy „a háromszöget könynyü egyenlő területü négyzetté változtatni”³⁸, így ha a kör és a neki megfelelő háromszög területe éppen π, akkor egy olyan négyzetet keresünk, amelynek oldala π négyzetgyöke (hiszen a négyzet területe az oldalának négyzete). Ez pedig elvezet egy nevezetes ókori szerkesztési problémához, a kör négyszögesítéséhez. Ennek lényege, hogy egy olyan négyzetet kell megszerkeszteni, amelynek területe egy adott kör területével egyenlő, azaz itt is π négyzetgyökét keressük. Igazolható (bár erre 1882-ig várni kellett), hogy euklideszi szerkesztéssel ez a probléma nem megoldható. Bár a bizonyítást nem ismerhette, a probléma megoldásának lehetetlenségét Hollán – a matematikusok zöméhez hasonlóan – érezte, így könyvében közelítő szerkesztési eljárásokat mutatott meg: „Miután a magasabb számtan segedelmével kimutathatni, hogy olyan mértani alakitás, mely valamely körnek kerületét vagy területét tökéletes pontosságban adná, teljesen lehetetlen: igy meg kell azzal elégednünk, ha oly alakitásokat találhatunk, melynek segedelmével valamely körnek körzete egy egyenessé, vagy annak területe négyzetté megközelítőleg változtathatik.”³⁹ Ezzel az általános síkgeometria részt Hollán lezárta.

Ezek után a trigonometriai ismeretek jöttek. Hollán először a hegyesszögek szögfüggvényeit (sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans) értelmezte derékszögű háromszögekben, majd megadta az ezek között fennálló összefüggéseket (így a gyakran használt trigonometrikus Pitagorasz-tételt is) azok bizonyításával. Külön táblázatot készített arra, hogy egy adott szögfüggvényérték ismeretében a többit hogyan lehet meghatározni. Kiterjesztette a szögfüggvényfogalmat nem hegyesszögekre, és vizsgálta a szögfüggvények növekedését és csökkenését (függvénytani eszközök nélkül). Szerepelnek az addíciós tételek és bizonyításuk, azok következményeivel együtt (többszörös szögek meghatározására vonatkozó képletek és egyéb formulák). A fejezet végén Hollán megmutatta, hogyan lehet konkrét szögek szögfüggvényértékeit táblázat segítségével meghatározni.

Hollán összegyűjtötte a háromszögekkel kapcsolatos trigonometrikus összefüggéseket is. A definícióktól eltérő képleteket adott meg oldalak és szögek között derékszögű háromszögben, külön részben ismertette az egyenlő szárú háromszögek trigonometriáját. Az általános háromszögekre vonatkozó részben azzal a klasszikus módszerrel kezdett, amely a háromszöget derékszögű háromszögekre darabolja. Ebben a fejezetben bizonyította a szerző a sinustételt, az általánosított sinustételt (itt szerepet kapott a háromszög köré írt kör sugara is) és a cosinustételt (ez a bizonyítás a sinustételből adódik, vektorok skaláris szorzatát Hollán nem használta). Bemutatta ezeknek az összefüggéseknek az alkalmazhatóságát: általános képleteket vezetett le, amelyek használhatósága a háromszög ismert adataitól függ (például: hogyan lehet meghatározni a háromszög szögeit a három oldal ismeretében). Hollán levezette a háromszögek trigonometrikus területképleteit is, és ezek következményeként bizonyította a Hérón-képletet, amelynek segítségével a háromszögek területe a három oldal ismeretében meghatározható (tehát a képlet semmilyen szögfüggvényt nem tartalmaz).

A síkgeometriai rész, amely a könyvnek közel 40%-át teszi ki, a sokszögek trigonometriájával zárul. Külön szerepelnek a négyszögekre, a húrnégyszögekre vonatkozó ismeretek, de sokszögek belső szögeit is felhasználta Hollán trigonometrikus összefüggésekben, így például területképletek megadásában.

A térgeometriai rész a térelemek (egyenesek, síkok) kölcsönös helyzetével (metsző, párhuzamos, kitérő) indul, ezek bemutatása közben a Hilbert-féle axiómarendszer állításai is előkerülnek éppúgy, mint a térelemek távolságának és hajlásszögének értelmezései.

A nevezetes testek bemutatását a síklapú testekkel, a poliéderekkel kezdte Hollán. Értelmezte a hasábokat, a gúlákat, a paralelepipedonokat, a téglatesteket, illetve kockákat, és megadta ezek fontosabb, szemléletesebb tulajdonságait. A gúlák esetében kiemelte a csonka gúlákat, amelyek hasonló gúlák segítségével is megadhatók: „ha valamely gula két párhuzamos sikakkal metszetik át, ugy a metszékek (Durchschnittsfiguren) egymással hasonlók, s területeik tartalma egyenlő arányban vagyon a csúcstóli távolságaik négyzeteivel.”⁴⁰

Hollán a könyvében értelmezte a poliéderek felszínét és térfogatát is. A felszín esetében könnyű dolga volt, hiszen „A szögletes testek felületeit illetőleg, könnyen beláthatni, hogy valamely testnek felülete egyenlő leszen az összes határlapok területtartalmi összegével, melyek egyenként véve meghatározott síkterületek”⁴¹, és a síkidomok területének meghatározásáról a korábbi fejezetekben volt szó. A térfogat értelmezése már bonyolultabb kérdés. Hollán először megvizsgálta, milyen esetekben lehet két hasáb vagy két gúla térfogata egyenlő. Igazolta, hogy ez akkor lehetséges, ha a két hasáb vagy a két gúla alapterülete és magassága egyenlő. Ezek után – a téglalapok területének megadásához szükséges korábbi tételekhez hasonló felépítésben – megadta a téglatest térfogatának kiszámítási módját, és ebből már le tudta vezetni a hasábok térfogatképletét. Végül meghatározta a gúlákra igaz térfogat-összefüggést: „Minden gúlának testtartalma egyenlő talapterületének, s magassága harmadrészének szorozmányával.”⁴²

A poliéderek bemutatása után a nem poliéderek (mértani testek, gömbölyű testek) értelmezése következett. Hollán bemutatta a henger, a kúp és a gömb (valamint részei, azaz a „golyószelet”, a „csonkított golyószelet”, a „golyó-öv” stb.) származtatását, és külön részletezte, hogy mi történik, ha a gömböt elmetsszük egy síkkal. A henger felszínének és térfogatának kiszámítási módját különösebb indoklás nélkül közölte éppúgy, mint a kúpét: „valamely kúpnak testtartalma, egyenlő a talpa s magassága szorozmányának harmadával.” ⁴³ A gömb felszínét a beírt kúpok és csonka kúpok palástjának összegével közelítve adta meg, a kiszámítás módjának megfogalmazása nagyon érdekes: „a golyónak felülete egyenlő átmérője, s legnagyobb kör körzetének szorozmányával.”⁴⁴ A gömb térfogatának megadása pedig semmiképpen sem nevezhető a leggyakoribbnak, a meghatározás módja kifejezetten ötletes, szemléletes, és nincs is hozzá szükség a Cavalieri-elvre, amely a legismertebb, leggyakoribb megadási módnál szokott előfordulni. A gömb térfogatát olyan gúlák segítségével közelítette Hollán, amely gúlák csúcsa a gömb középpontja, a gúlák alaplapjának csúcsai pedig a gömb felületére illeszkednek. Minél finomabb gúlákkal dolgozunk, annál jobban megközelíti a gúlák alaplapjának területösszege a gömb felszínét, a gúlák magassága pedig a gömb sugarát. Így a gúlák térfogatának összege a gömb térfogatát közelíti. Ezek alapján fogalmazta meg Hollán a gömb térfogatának kiszámítási módját: „A golyónak testtartalma egyenlő felületének s félmérője harmadának szorozmányával.”⁴⁵ És ez tényleg kiadja a jól ismert térfogatképletet.

Külön fejezet szól a gömb felületén értelmezhető geometriáról, a gömbi geometriáról, ezen belül a gömbháromszögek geometriájáról és trigonometriájáról. Hollán részletesen ismertette és levezette a trigonometrikus összefüggéseket, a derékszögű és nem derékszögű gömbháromszögek adatai között fennálló formulákat. A gömbháromszögek és gömbsokszögek területének (azaz a gömbfelületen lévő rész területének) megadási módjáról is írt.

A fejezet utáni függelékben az öt szabályos test, azaz az öt platoni test bemutatása következett. Gömbbe írt szabályos testeket vizsgált Hollán, olyan poliédereket, amelyek oldallapjai egybevágó sokszögek. Ezek számának megadását sem a legismertebb módon (az Euler-tétel segítségével) végezte a szerző. Az ötletes levezetés eredményeként kapta az alábbi következményt: „valamely golyót szabályos sokszögekkel öt különböző módon lehet eltakarni, t. i. négy, nyolcz vagy husz háromszögekkel, hat négyszögekkel, vagy tizenkét ötszögekkel.” ⁴⁶ Így kapta meg a tetraédert, az oktaédert, az ikozaédert, a hexaédert (a kockát) és a dodekaédert. A klasszikus térgeometriai rész a szabályos testek bemutatásával zárul.

Az elemi sík- és térgeometria tárgyalása után Hollán Ernő könyvében közel 200 oldalon koordináta-geometria (analitikus, „taglalati” geometria) következik. Persze itt nem találkozunk koordináta-tengelyekkel, (hely- és szabad) vektorokkal, hanem Hollán amellett érvelt, hogy bizonyos vizsgálódások egyszerűbbé válnak, ha azokat számszerűsítjük. (Hivatkozott is néhány korábbi szerkesztési eljárására, amelyek segítségével szakaszok szorzata, aránya, mértani közepe meghatározható volt.) Néhány bevezető szerkesztési és számolási feladat után tért át a koordinátasíkokban lévő pontok koordinátáinak előjelére, két pont távolságának a megadására. Hollán a pontok után az egyeneseket vizsgálta. Precíz ábrákkal, részletesen vizsgálta azokat elhelyezkedésüktől függően. Ismertette, hogy az egyenesek elsőfokú kétismeretlenes egyenletekkel azonosíthatók („Tehát nem csak az x és y közti első foku egyenlet felel meg egy egyenes vonalnak, hanem minden egyenes vonalnak egyenlete, szükségkép első foku leszen.”⁴⁷), megadta – általánosan, számok nélkül – a metszéspontok koordinátáinak meghatározási módját. Részletesen olvashatunk a különböző helyzetű egyenesek egyenletének (a középiskolából ismert eljárásoktól eltérő) megadási módjairól. Hollán általánosan vizsgált egyszerűbb koordináta-geometriai feladatokat: hogyan lehet eldönteni, hogy két egyenes párhuzamos vagy merőleges-e; hogyan írható fel egy egyenes egyenlete, ha ismert róla két pont; mi lesz adott egyenessel párhuzamos vagy merőleges, adott ponton átmenő egyenes egyenlete; hogyan határozható meg két egyenes metszéspontja; hogyan lehet megvizsgálni, hogy három pont egy egyenesen van-e; hogyan számítható ki egy egyenes és egy pont távolsága. Hollán koordináta-geometriai eszközökkel bizonyította, hogy a háromszögek három magasságvonala, valamint a három oldal felezőmerőlegese egy-egy pontban metszi egymást (magasságpont és a köré írható kör középpontja), valamint igazolta az Euler-egyenes létezését is. (Minden háromszögben a súlypont, a magasságpont és a köré írható kör középpontja egy egyenesre illeszkedik.)

Ezek után a másodfokú egyenletekkel felírható görbék bemutatása következett. Ezek általános alakját Hollán az ay² + bxy + cx² + dy + ex + f = 0 alakban adta meg, amelyben a görbe típusa az a, b, c, d, e és f konstansok megválasztásától függ.⁴⁸ Közel 70 oldalon keresztül részletes, alapos levezetések segítségével osztályozta a görbéket, így jutott el a hiperbolához, az ellipszishez és a parabolához. Külön részben vizsgálta Hollán az érintőket és az azokra vonatkozó szerkesztési lehetőségeket. Ehhez analitikus eszközöket is felhasznált. Végül szót ejtett a görbék által meghatározott síkrészek területének megadási módjáról.

Szintén egy nagyobb részben foglalkozott Hollán a kör, a hiperbola és a parabola fontosabb tulajdonságaival. Megadta mindegyik alakzat egyenletét (általános és speciális esetekben is), vizsgálta a fókuszpontok szerepét, az érintőket és ezek szerkesztési lehetőségeit. A hiperbola és a parabola esetében arra is mutatott eljárást, hogy az alakzatok egy-egy pontját hogyan lehet megszerkeszteni. A szerkesztési eljárás helyességét koordináta-geometriai eszközökkel igazolta. Vizsgálta, hogy a kör, a hiperbola és a parabola által meghatározott síkrészek területe és az alakzatokból kapható testek térfogata hogyan számítható ki.

Külön fejezet szól a kúpszeletekről és szerepükről, amelyről Hollán ezt írta: „Ős időkben már a görög mathematicusoknál, a körön kivül a többi másodrendü vonalok is, u. m. a kerülék, a mentelék s hajtalék ismerve, s bámulatos bőséggel kifejte valának, kiktől is elnevezéseiket Ellypsis, Hyperbola, Parabola nyerték. Már ott, s azóta egyéb mathematicai művekben ezen görbék a kupszeletek (Regelschnitte) nevezete alatt foglaltatnak össze.”⁴⁹ Hollán koordináta-geometriai eszközökkel (részletesen és alaposan) igazolta, hogy egyenes és ferde körkúpokat is tudunk úgy síkkal metszeni, hogy a két alakzat közös részeként ellipszis, parabola, illetve hiperbola keletkezzen. Egyenes körhengert is elmetszett síkkal, így viszont csak ellipszist kaphatott. Ezzel a fejezettel Hollán a négy és félszáz oldalon keresztül tartó geometriai vizsgálódásait lezárta.

A sík- és térmértan, valamint az analitikus geometria bemutatása után Hollán könyvében négy oldalon keresztül a szakszavak értelmezését, német nyelvű megfelelőjét találjuk. Hollán maga is megpróbálkozott a matematika szaknyelvének megújításával, magyarításával. Ennek bemutatására álljon most itt néhány példa.

 

A ma használt matematikai szakkifejezések	Hollán Ernő elnevezései
alap	talapvonal
átfogó	átfoglaló
befogó	befoglaló
cosinus	pótkebel
egyállású szögek	viszontos szögek
egybevágó	összeillő
egyenesszög	nyujtott szög
él	ormo
ellipszis	kerülék
fókuszpont	gyúpont
gúla	lobor, csúcsoszlop
hasáb	kaz, hasáng, oszlop
hegyesszög	szükszög
hiperbola	mentelék
irracionális	számszabhatatlan
kocka	köb
konkáv szög	hajtott szög
konvex szög	hajla szög
koordináta	öszrendes
különbség	külzelék
merőleges	függélyes
parabola	hajtalék
paralelepipedon	egyenhatály
paralelogramma	egyenközény
párhuzamos	egyenközű
poliéder	sokaly, soklapu
racionális	számszabatos
rombusz	dülény
sinus	kebel
sugár	félmérő
szelő	szabda
tompaszög	tágszög
trapéz	ferdény

 

A szaknyelv megújításának, a nyelvművelés támogatásának céljából Marczibányi István alapítványt hozott létre, amely minden évben díjazott egy, a nyelvművelés témájában készített pályaművet. Az első jutalmat 1817-ben adták ki. A Magyar Tudományos Akadémia 1831-es alapítása után a pályaművek díjazása az intézményhez került. Ilyen elismerésben részesült Hollán Ernő is a mértanról szóló könyve miatt, négy évvel annak megjelenése után.⁵⁰

Végezetül emlékezzünk meg Hollán Ernő tudományos munkásságának másik részéről is.⁵¹ Hollánt a Magyar Tudományos Akadémia 1858-ban választotta levelező taggá, a Matematikai és Természettudományi Osztály tagja lett. Hollán az akadémiai székfoglalóját 1859. május 16-án tartotta Az újabb szerkezetű vasúti hidakról, különösen a rácsrendszerről címmel. A bevezetőben így fogalmazott: „E magasztos hely küszöbén keblemet a legmélyebb tisztelet tölti el, melyen szerencsémül jutott, magamat azon férfiak előtt bemutatni, kikben a haza legbecsesb szellemi s erkölcsi javainak hű őrzőit ismeri. Lelket emelő, s minden jobbak óhajtásait ébresztő, ely polczra állíttatni, melyre egy egész nemzet bizalma s büszkesége függesztve van.”⁵²

A dolgozat első részében Hollán kifejtette, hogy a hídépítésben újabb technológiákat kellett létrehozni, mivel a közlekedési eszközök is fejlődtek. A különböző hídszerkezetek (kő, fa, öntöttvas) előnyeit és hátrányait is bemutatta, a szegedi Tisza-híd építése példaként szolgált ehhez. A dolgozat második része a rácsszerkezetű hidak egyensúlyi helyzetével foglalkozott. Részletes és alapos számításokat, levezetéseket találunk ebben a részben, felhasználva az analízisből (differenciál- és integrálszámítás) származó eredményeket.

Hollán Ernőt az Akadémia 1861-ben választotta rendes taggá. A székfoglaló beszéd A vasutak keletkezése s általános elterjedése felett címet kapta. Több európai (angol, belga, német, francia) ország vasúthálózatának kiépítésével, felszereltségével, működtetésének sajátosságaival foglalkozott, de hozott amerikai és más tengerentúli példákat, statisztikai adatokat is.

Tudós mérnökünk később is aktívan részt vett az Akadémia és a Matematikai és Természettudományi Osztály életében. Amikor 1880-ban a Magyar Orvosok és Természetvizsgálók nagygyűlését Szombathelyen tartották, akkor maga Hollán vezette az Akadémia hatfős küldöttségét. Az Akadémia Hadtudományi Bizottsága 1883-ban az ő kezdeményezésére alakult meg. Értékes dokumentumokat (főleg leveleket) szerzett és adományozott az Akadémia ilyen típusú gyűjteményébe, és végrendeletében 2000 koronát hagyott az Akadémiára. Egy hónappal halála után, 1900. június 28-án, a 26. akadémiai ülésen jegyzőkönyvben is megörökítették Hollán Ernő emlékét.

Zárásként álljon itt az a Hollán Ernő életét és munkásságát jól jellemző idézet, amely megtalálható a Magyar Tudós Társaság évkönyvében és Hollán a Mértan alapvonalai tudományosan rendszeresítve című könyve borítójának hátoldalán is: „A tapasztalás és mindennapi gyakorlat, mely tudomány nélkül csak csupa testi ügyességet szülhet, math e maticai tudományokkal párositva, ellátatlan pályát nyit fel az emberi elmének, a maga találóssága, itélő tehetségének élessége, s egész ereje kifejtésére.” Fontos gondolatok ezek a tudományokat tisztelők, a tudást becsülők, azaz remélhetőleg mindenki számára.

   

FELHASZNÁLT IRODALOM

HAJÓS 1999
	HAJÓS György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1999.
HAJÓS 2006
	HAJÓS György: Hollán Ernő a katona, a mérnök, az államférfi. Építésügyi Tájékoztatási Központ Kft, Budapest, 2006.
HOLLÁN 1854
	HOLLÁN Ernő: Mértan alapvonalai tudományosan rendszeresítve. Bécs, 1854.
PELLE 1997
	PELLE Béla: Geometria. EKTF Líceum Kiadó, Eger, 1997.
SZÉNÁSSY 2008
	SZÉNÁSSY Barna: A magyarországi matematika története a 20. század elejéig. Polygon Kiadó, Szeged, 2008. 3. kiadás
WESZELY 1981
	WESZELY Tibor: Bolyai János matematikai munkássága. Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1981.

   

JEGYZETEK

1	WESZELY 1981. 18–19. old.
2	HAJÓS 2006. 12. old.
3	HAJÓS 2006. 17. old.
4	HAJÓS 2006. 21. old.
5	SZÉNÁSSY 2008. 43–46. old.
6	SZÉNÁSSY 2008. 54. old.
7	SZÉNÁSSY 2008. 50–51. old.
8	SZÉNÁSSY 2008. 64. old.
9	SZÉNÁSSY 2008. 75–77. old.
10	SZÉNÁSSY 2008. 84. old.
11	SZÉNÁSSY 2008. 88. old.
12	SZÉNÁSSY 2008. 93. old.
13	SZÉNÁSSY 2008. 98–102. old.
14	HOLLÁN 1854. 1. old.
15	HOLLÁN 1854. 4. old.
16	HAJÓS 1999. 69. old.
17	PELLE 1997. 259. old.
18	HOLLÁN 1854. 7–8. old.
19	HOLLÁN 1854. 25. old.
20	HOLLÁN 1854. 28–29. old.
21	HOLLÁN 1854. 32. old.
22	HOLLÁN 1854. 40. old.
23	HOLLÁN 1854. 40. old.
24	HOLLÁN 1854. 44. old.
25	HOLLÁN 1854. 42. old.
26	HOLLÁN 1854. 45. old.
27	HOLLÁN 1854. 47. old.
28	HOLLÁN 1854. 53. old.
29	HOLLÁN 1854. 54. old.
30	HOLLÁN 1854. 58. old.
31	HOLLÁN 1854. 68. old.
32	HOLLÁN 1854. 70. old.
33	HOLLÁN 1854. 91. old.
34	HOLLÁN 1854. 92. old.
35	HOLLÁN 1854. 99. old.
36	HOLLÁN 1854. 107. old.
37	HOLLÁN 1854. 111. old.
38	HOLLÁN 1854. 111. old.
39	HOLLÁN 1854. 113. old.
40	HOLLÁN 1854. 197. old.
41	HOLLÁN 1854. 198. old.
42	HOLLÁN 1854. 209. old.
43	HOLLÁN 1854. 216. old.
44	HOLLÁN 1854. 218. old.
45	HOLLÁN 1854. 221. old.
46	HOLLÁN 1854. 244. old.
47	HOLLÁN 1854. 283. old.
48	HOLLÁN 1854. 304. old.
49	HOLLÁN 1854. 436. old.
50	HAJÓS 2006. 16. old.
51	HAJÓS 2006. 51–52. old.
52	HAJÓS 2006. 78. old.